월. 12월 23rd, 2024

곰쌤수학

밑면의 반지름의 길이가 1 인 직원뿔에 원기둥을 내접시킬 때, 이 원기둥의 체적이 최대가 되려면 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 얼마입니까?

Byphotographer

11월 27, 2024

1. 직원뿔과 원기둥의 관계 정의하기

직원뿔의 밑면 반지름의 길이는 $1$ , 높이는 $h$ 로 정의합니다.
원기둥의 밑면 반지름을 $r$ , 높이를 $h_c$ 라고 할 때,
직원뿔의 단면 삼각형의 기울기를 이용해 다음 관계를 세울 수 있습니다.

$h_c = h (1 - r)$

직원뿔 내부에 원기둥이 내접하려면 위 조건이 성립합니다.

2. 원기둥의 체적 공식 세우기

원기둥의 체적 $V$ 는 다음과 같이 계산됩니다.

$V = \pi r^2 h_c$

여기서 $h_c$ 를 $h (1 - r)$ 로 대체하면:

$V = \pi r^2 h (1 - r)$

이를 전개하면:

$V = \pi r^2 h - \pi r^3 h$

즉,

$V = \pi h (r^2 - r^3)$

3. 체적의 최대값을 구하기 위해 미분하기

체적 $V$ 를 $r$ 에 대해 미분하여 $V'(r)$ 를 구합니다:

$V'(r) = \frac{d}{dr} \left( \pi h (r^2 - r^3) \right)$

미분 결과는:

$V'(r) = \pi h (2r - 3r^2)$

4. 최대값을 구하기 위해 $V'(r) = 0$ 을 풀기

$V'(r) = 0$ 을 풀어 최대 체적이 되는 $r$ 값을 구합니다.

$\pi h (2r - 3r^2) = 0$

$\pi h$ 는 상수이므로 이를 나누면:

$2r - 3r^2 = 0$

인수분해하면:

$r (2 - 3r) = 0$

따라서 $r = 0$ 또는 $r = \frac{2}{3}$ 입니다.
$r = 0$ 은 원기둥이 존재하지 않는 경우이므로,
$r = \frac{2}{3}$ 이 최대 체적을 만듭니다.

5. 문제에서 주어진 값 대입

직원뿔의 밑면 반지름이 $1$ 이고, 높이가 $h = 1$ 로 주어졌으므로, 결과는 그대로 적용됩니다.

최종 답

$\boxed{\frac{2}{3}}$

photographer

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